第232章 测量应用

　　“就是这里。”林焱站定，用脚在地上划了个记号。然后他让方运用测绳仔细丈量了从乙点到丁点的距离（乙丁长度）。

　　“好了。”林焱拍拍手上的土，走到王启年身边，指着对岸的丙点，“王兄，你现在从甲点，沿着我木片上画线的方向，也就是甲丙方向，一直看过去，能对准那块褐色石头吗？”

　　王启年眯着眼比划了一下：“差不多……哎，好像偏一点点？”

　　“无妨，大致方向即可。”林焱点点头，然后对方运道，“方兄，丈量一下从甲点到乙点的距离。”

　　方运用测绳认真量过：“十八步半，约合两丈七尺余。”（假设一步约合一尺五寸）

　　林焱心中默算。此时，他构造了两个相似直角三角形：△Abc（A点竹竿底、b点竹竿底、c点对岸岩石）和△Abd（A点竹竿底、b点竹竿底、d点后退位置）。其中，Ab是公共边，∠Abd是直角（他后退时用罗盘尽量保证了垂直），∠bAc与∠bAd是同一个角（视线方向）。根据相似三角形原理，河宽Ac与后退距离bd的比值，等于Ab与某个量的比值……实际上，更简便的是利用△Abc与△Abd的相似，对应边成比例：Ac/Ab = Ab/bd？不，需要更准确的对应关系。他构思的测量方法，本质上是通过构造全等三角形或利用两次相似来间接求解，具体推导需要画图。

　　他索性蹲下，用炭笔在另一张纸上快速画出示意图，标出A、b、c、d四点，注明已知的Ab、bd长度。根据他的操作，Ad连线通过c点，且∠Abd是直角。若再能确定∠bAd与∠bAc相等（视线保证），则△Abd与△Abc相似？不完全是。他实际是利用了“同一视线方向”和“直角后退”构造了可解的条件。更准确地说，他此刻的方法近似于“三角高程测量”的平面简化版，但用古代工具和表述需要转化。

　　他略一沉吟，决定采用更直观的解释：“我们目下已知甲乙长两丈七尺，丙丁长……”他看向方运。

　　方运报出：“丙丁长三丈一尺。”

　　“好。”林焱用炭笔在纸上写写画画，“我们将河宽设为未知数‘广’。因我们从甲望丙，与从丁望丙，视线方向相同，故甲、丁、丙三点大致在一直线上。而甲乙垂直于乙丁。那么，在由甲、乙、丙三点构想的直角三角形中，甲乙是‘股’，河广甲丙是‘勾’？不，甲丙是斜边？需要明确模型……”他迅速修正思路，“其实可以视为两个相似直角三角形：小的是在地面上我们构建的△甲乙丁，大的是包含河宽的△甲?丙？或许用‘重差’思想更易说明：两次立表（甲、乙），后退得丁，利用比例……”

　　他不想在推导上耗费太多时间，直接给出结果：“根据勾股比例及相似形原理，可算得河宽约为五丈二尺。具体推演步骤，我稍后补入笔录。”

　　王启年听得云里雾里，只盯着林焱纸上那些点线三角符号发愣。陈景然却是目光专注地看着林焱的图示，眼中闪过明悟之色，缓缓点头：“妙。以地面可测之小三角形，推演河对岸不可至之大三角形。此法较之《海岛算经》所载，似乎更简捷少许，且无需渡河或在对岸立表。”

　　方运也露出钦佩神色：“林兄此法，构思巧妙。仅用两根竹竿、一条视线、一次后退丈量，便可得河宽。省时省力。”

　　这边动静吸引了附近几组学子的注意。赵夫子也踱步过来，看着林焱地上的图示和测量结果，圆脸上的笑意加深，细眼中闪着光：“哦？林焱，你这法子……说来听听，依据何典？”

　　林焱起身，恭敬道：“回夫子，学生此法，源于‘勾股容方’、‘相似相应’之理。学生在华亭时，曾见匠人用类似方法测屋宇进深，稍加变通用于测河宽。其实理与《九章》勾股章、刘徽重差之术相通，只是步骤略作简化。”他将自己如何利用视线构造相似三角形，如何通过地面可测边长推算河宽的过程，尽量用此时已有的数学语言解释了一遍。

　　赵夫子听罢，捋着并不存在的长须（他习惯性动作），连连点头：“善！善哉！不唯读死书，能活用之，且能简化古法，便于操作。心思灵巧，于算学一道，确有过人之处。”他看向林焱的目光满是赞许，又对周围聚过来的学子道，“尔等可都看明白了？算学之用，便在如此。林焱此法，尔等可借鉴，亦可自创他法，只要言之成理，测得准确便是。”

　　得了夫子肯定，林焱心中一定。接下来测山高，他思路更清晰。他选了一处能清晰看到山顶一棵孤松的位置。同样垂直插下一根竹竿（标杆），测量竹竿长度和其影长。同时，他目测估算出从立足点到山脚的水平距离（利用步测和罗盘方向保持直线）。然后在纸上构建相似三角形：竹竿与其影子构成小直角三角形，山高，加上测量点到山脚的水平落差与山体投影长度，测量点到山脚距离加上山脚到山顶垂足的水平距离，后者他通过山顶孤松与山脚连线的角度大致估算，构成大直角三角形。利用日影比例，很快估算出山高大致的数值范围。

　　这一次，他不仅用了相似三角，还下意识引入了简易的角度估算概念，虽未有量角器，但用“半直角”、“三分之一直角”等粗略描述。陈景然和方运在他解说下，勉强能跟上思路。王启年则是彻底放弃了理解，只忙着帮丈量影长和跑腿。